vault backup: 2025-04-08 09:53:27

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Decorar.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+## Derivada
+
+$\Large f(x) = x^y$  
+$\Large f'(x) = y \cdot x^{y-1}$  
+
+$\Large \dfrac{df}{dx} = x^y \rightarrow y \cdot x ^ {y-1}$  

Física/1. Tópicos Fundamentais/Cinemática/Movimento uniforme e uniformemente variado.md

@@ -1,18 +0,0 @@
-Quando o movimento de um objeto mantém certa regularidade em sua velocidade ou aceleração, ele pode ser descrito através de fórmulas matemáticas.  
-Quando um móvel mantém velocidade constante, ele executa um _movimento uniforme_. Quando executa um movimento com aceleração constante, temos um _movimento uniformemente variado_.
-## Movimento uniforme
-O movimento uniforme é um movimento com velocidade constante, ou seja, o móvel percorre distâncias iguais em tempos iguais. É comum presenciarmos esse tipo de movimento em uma estrada sem engarrafamento. Nessa situação, é possível manter a velocidade do carro constante durante um longo intervalo de tempo.
-## Propriedades do movimento uniforme
-Quando um móvel executa um movimento uniforme, podemos observar duas propriedades muito importantes: uma é que a aceleração do móvel é nula (lembre-se de que para haver aceleração é necessário que exista variação de velocidade), e a outra é que a velocidade constante coincide com a velocidade média, ou seja:
-## Fórmulas
-- **Aceleração média:** $\LARGE a = a_m = \dfrac{\Delta V}{\Delta t}$
-- **Função horária da velocidade:** $\LARGE v(t) = v_0 + a \cdot t$
-- **Função horária da posição:**  $\LARGE S(t) = S_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}$
-- **Equação de Torricelli:** $\LARGE v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta S$
-
-
-
-
-
-
-

Física/1. Tópicos Fundamentais/Exercícios/Cinemática/Movimento uniforme.md

@@ -0,0 +1,285 @@
+## 📌 Questão 1
+Que distância seu carro percorre a $88km/h$ durante $1s$ em que você olha um acidente à margem da estrada.
+
+---
+### 📄 Solução 1
+ $v=88km/h$  
+ $t=1s$  
+ 
+ $\Delta S = v \cdot \Delta t \Rightarrow$  
+ $S_f - S_0 = v \cdot (t_f - t_0)$  
+ $S_f - S_0 = 88km/h \cdot 1s$  
+ $S_f - S_0 = \dfrac{88}{3,6} m*s^{-1} \cdot 1s$  
+ $S_f - S_0 = \dfrac{88}{3,6} m$  
+ $\Delta S = \dfrac{88}{3,6} m = 24,4\cdots m$  
+ 
+🧐 **Resposta:**  $24,4m$
+
+---
+## 📌 Questão 7 😭
+ Você dirige da cidade A para a cidade B: Metade do **tempo** a $56,3km/h$ e a outra metade a $88,5km/h$. Na volta você percorre metade da **distância** a $56,3km/h$ e a outra metade $88,5km/h$.
+ - **Pergunta:** Qual sua velocidade escalar média?
+	 1. Da cidade A a cidade B
+	 2. de B até A, na volta e
+	 3. na viagem completa de ida e volta
+---
+### 📄 Solução 7.1:
+
+$v_1 = 56,3km/h$  
+$v_2 = 88,5km/h$  
+
+$v_m = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$  
+$v_m = \dfrac{56,3km/h + 88,5km/h}{2}$  
+$v_m = \dfrac{144,8km/h}{2} = 72,4km/h$  
+
+🧐 **Resposta:** $72,4km/h$
+
+---
+### 📄 Solução 7.2
+$v_1 = 56,3km/h = \dfrac{\Delta S}{t_1 \cdot 2}$  
+
+$v_2 = 88,5km/h = \dfrac{\Delta S}{t_2 \cdot 2}$  
+
+$v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}$  
+
+$t_1 = \dfrac{\Delta S}{v_1 \cdot 2}$
+
+$t_2 = \dfrac{\Delta S}{v_2 \cdot 2}$
+
+$v_m = \dfrac{\Delta S}{\dfrac{\Delta S}{v_1 \cdot 2} + \dfrac{\Delta S}{v_2 \cdot 2}}$
+
+$v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta S \cdot (\dfrac{1}{v_1 \cdot 2} + \dfrac{1}{v_2 \cdot 2})}$
+
+$v_m = \dfrac{1}{(\dfrac{1}{v_1 \cdot 2} + \dfrac{1}{v_2 \cdot 2})}$
+
+
+$v_m = \dfrac{1}{\dfrac{1}{56,3km/h \cdot 2} + \dfrac{1}{88,5km/h \cdot 2}}$
+
+$v_m = \dfrac{1}{\dfrac{1}{112,6km/h} + \dfrac{1}{177km/h}}$
+
+$v_m = \dfrac{1}{\dfrac{1}{112,6km/h} + \dfrac{1}{177km/h}}$
+
+$\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{1}{112,6km/h} + \dfrac{1}{177km/h}}$
+
+$\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{177km/h}{112,6km/h \cdot 177km/h} + \dfrac{112,6km/h}{112,6km/h \cdot 177km/h}}$
+
+$\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{177km/h + 112,6km/h}{112,6km/h \cdot 177km/h}}$
+
+$\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{289,6km * h^{-1}}{19930,2km^2 h^{-2}}}$
+
+$v_m = \dfrac{19930,2km^2 h^{-2}}{289,6km * h^{-1}}$
+
+$v_m = \dfrac{19930,2km/h}{289,6}$
+
+$v_m = 68,819751381 km/h$
+
+🧐 **Resposta:** $68,82km/h$
+
+---
+### 📄 Solução 7.3
+
+$v_{m_{ida}} = 72,4 km/h$  
+$v_{m_{volta}} = 68,82 km/h$  
+
+
+$v_m = \dfrac{v_{m_{ida}} * t_{ida} + v_{m_{volta}} * t_{volta}}{t_{ida} + t_{volta}}$  
+
+$v_m = \dfrac{2d}{t_{ida} + t_{volta}}$  
+
+$v_{ida} = \dfrac{d}{t_{ida}} \Rightarrow t_{ida} = \dfrac{d}{v_{ida}}$  
+
+$v_{volta} = \dfrac{d}{t_{volta}} \Rightarrow t_{volta} = \dfrac{d}{v_{volta}}$
+
+$v_m = \dfrac{2d}{\dfrac{d}{v_{ida}} + \dfrac{d}{v_{volta}}}$
+
+$v_m = \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_{ida}} + \dfrac{1}{v_{volta}}}$
+
+$v_m = \dfrac{2}{\dfrac{1}{72,4} + \dfrac{1}{68,82}}$
+
+$\dfrac{1}{v_m} = \dfrac{\dfrac{1}{72,4} + \dfrac{1}{68,82}}{2}$
+
+$\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{1}{72,4} + \dfrac{1}{68,82}$
+
+$\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{68,82}{68,82 * 72,4} + \dfrac{72,4}{68,82 * 72,4}$
+
+$\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{68,82}{4982,568} + \dfrac{72,4}{4982,568}$
+
+$\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{141,22}{4982,568}$
+
+$\dfrac{v_m}{2} = \dfrac{4982,568}{141,22} = 35,282311287$
+
+$v_m = 35,282311287 * 2 = 70,56 km/h$
+
+🧐 **Resposta:** $70,56km/h$
+
+---
+## 📌 Questão 9
+A posição de um objeto que se move em linha reta é dada por $x = 3t - 4t^2 + t^3$, sendo $x$ em metros e $t$ em segundos
+- **Perguntas:**
+	1. Qual a posição do objeto nos instantes 0, 1, 2, 3, 4 s? 
+	2. Qual o deslocamento do objeto entre $t = 0s$ e $t = 2s$? E entre $t = 0s$ e $t = 4s$?
+	3. Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de $t = 0s$ e $t = 4s$? E entre $t = 0s$ e $t = 3s$? 
+---
+### 📄 Resolução 9.1
+
+$x(t) = 3t - 4t^2 + t^3$  
+
+$x(0) = \LARGE 0$  
+$x(1) = 3 - 4 + 1 = \LARGE 0$  
+$x(2) = 3*2 - 4 * 2^2 + 2^3 = \LARGE -2$  
+$x(3) = 9 - 4*9 + 3^3 = \LARGE 0$  
+$x(4) = 3*4 - 4*4^2 + 4^3 = \LARGE 12$  
+
+🧐 **Resposta:** Esses números ai em cima
+
+---
+### 📄 Resolução 9.2
+
+$\Delta S = S_f - S_0$  
+$\Delta S (t_0, t_f) = x(t_f) - x(t_0)$  
+
+$\Delta S (0, 2) = -2m - 0m = \Large -2m$  
+$\Delta S (0, 4) = 12m - 0m = \Large 12m$  
+
+🧐 **Resposta:** $-2m$ e $12m$ respectivamente
+
+---
+### 📄 Resolução 9.2
+
+$v = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}$  
+
+$v(t_0, t_f) = \dfrac{\Delta S (t_0, t_f)}{t_f - t_0}$  
+
+$\LARGE v(t_0, t_f) = \dfrac{x(t_f) - x(t_0)}{t_f - t_0}$  
+
+$v(0, 4) = \dfrac{x(4) - x(0)}{4s - 0s} = \dfrac{12m}{4s} = 3m/s$  
+$v(0, 3) = \dfrac{x(3) - x(0)}{3s - 0s} = \dfrac{0m}{3s} = 0m/s$  
+
+🧐 **Resposta:** $3m/s$ e $0m/s$ respectivamente
+
+---
+## 📌 Questão 11
+Calcule sua velocidade escalar média nos dois casos seguintes.
+1. Você caminha 72 m à razão de 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3.0 m/s numa reta.
+2. Você caminha durante 1,0 min. a 1,2 m/s e depois corre durante 1,0 min. 3,0 m/s numa reta
+---
+### 📄 Resolução 11.1
+
+$\Delta S_1 = 72m$  
+$\Delta S_2 = 72m$  
+
+$v_1 = 1,2m/s$  
+$v_2 = 3m/s$  
+
+$\Delta t_1 = \dfrac{\Delta S_1}{v_1} = \dfrac{72m}{1,2m/s} = 60s$  
+$\Delta t_2 = \dfrac{\Delta S_2}{v_2} = \dfrac{72m}{3m/s} = 24s$  
+
+$v_{média} = \dfrac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2} = \dfrac{72m + 72m}{60s + 24s} = \dfrac{144m}{84s} = 1,71m/s$  
+
+🧐 **Resposta:** $2,1m/s$
+
+---
+### 📄 Resolução 11.2
+
+$v_1 = 1,2m/s$  
+$v_2 = 3m/s$  
+
+$\Delta t_1 = 60s$  
+$\Delta t_2 = 60s$  
+
+$\Delta S_1 = v_1 \cdot \Delta t_1 = 1,2m/s \cdot 60s = 72m$  
+$\Delta S_2 = v_2 \cdot \Delta t_2 = 180m$  
+
+$v_{média} = \dfrac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2} = \dfrac{72m + 180}{60s + 60s} = \dfrac{252m}{120s} = 2,1m/s$  
+
+🧐 **Resposta:** $2,1m/s$
+
+---
+
+## 📌 Questão 13
+A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo X é dado por $x = 9,75 + 1,50t^3$, sendo $t$ em segundos e $x$ em centímetros. Considere o intervalo de tempo de $t = 2s$ a $t = 3s$ e calcule:
+1. A velocidade média
+2. A velocidade instantânea em $t =2s$
+3. A velocidade instantânea em $t=3s$
+4. A velocidade instantânea em $t=2,5s$
+5. A velocidade instantânea quando a partícula estiver no ponto médio entre as posições para $t=2s$ e $t=3s$
+---
+### 📄 Resolução 13.1
+
+$x(2) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 21,75cm$  
+$x(3) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 50,25cm$  
+
+$v_m = \dfrac{S_f - S_0}{\Delta t} = \dfrac{50,25cm - 21,75cm}{1s} = \dfrac{28,5cm}{1s} = 0,285m/s$  
+
+🧐 **Resposta:** $28,5\text{cm/s}$
+
+---
+### 📄 Resolução 13.2
+
+$$
+\begin{gathered}
+S = f(t) = 9,75 + 1,50 t^3 \\
+f'(t) = 4,5 t ^2 \Rightarrow \\
+f'(2) = 4,5 \cdot 2 ^2 = 4,5 \cdot 4 \Rightarrow \\
+f'(2) = 18
+\end{gathered}
+$$
+🧐 **Resposta:** $18\text{cm/s}$
+
+---
+### 📄 Resolução 13.3
+$$
+\begin{gathered}
+S = f(t) = 9,75 + 1,50 t^3 \\
+f'(t) = 4,5 t ^2 \Rightarrow \\
+f'(3) = 4,5 \cdot 3 ^2 = 4,5 \cdot 9 \Rightarrow \\
+f'(3) = 40,5
+\end{gathered}
+$$
+
+🧐 **Resposta:** $40,5\text{cm/s}$
+
+---
+### 📄 Resolução 13.4
+$$
+\begin{gathered}
+S = f(t) = 9,75 + 1,50 t^3 \\
+f'(t) = 4.5 t ^2 \Rightarrow \\
+f'(2.5) = 4.5 \cdot 2.5 ^2 = 4.5 \cdot 6,25 \Rightarrow \\
+f'(2.5) = 28,125
+\end{gathered}
+$$
+
+🧐 **Resposta:** $28,125\text{cm/s}$
+
+---
+### 📄 Resolução 13.5
+$$
+x(2) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 21,75cm 
+$$
+$$
+x(3) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 50,25cm
+$$
+$$
+\dfrac{x(2) + x(3)}{2} = \dfrac{21,75 + 50,25}{2} = 36cm \\
+$$
+$$
+\begin{align*}
+36 &= 9,75 + 1,50 t^3 \Rightarrow \\
+1,50t ^3 &= 36 - 9,75 \Rightarrow \\
+1,50t ^3 &= 26,25 \Rightarrow \\
+t^3 &= 17,5 \Rightarrow \\
+t &= \sqrt[3]{17,5} \\
+\end{align*}
+$$
+$$
+\begin{align*}
+f'(t) &= 4,5 t ^2 \Rightarrow\\
+f'(\sqrt[3]{17,5}) &= 4,5 \cdot (\sqrt[3]{17.5}) ^2 \\
+&= 4,5 \cdot \sqrt[3]{17.5^2} \\
+\end{align*}
+$$
+
+🧐 **Resposta:** $4,5 \cdot \sqrt[3]{17.5^2} \text{cm/s} = 30,6\text{cm/s}$
+
+---

Física/1. Tópicos Fundamentais/Exercícios/Cinemática/Movimento uniformemente variado.md

@@ -0,0 +1,87 @@
+## 📌 Questão 37
+Fig. 2-26 mostra o movimento de uma partícula que se move ao longo do eixo $x$ com aceleração constante. A escala vertical do gráfico é definida por $x_s = 6.0\text{m}$. Quais são 
+1. O módulo da aceleração da partícula?
+2. E o sentido da aceleração da partícula?
+
+Figura 2-26 Problema 37
+![](anexos/Figura%202-26.png)
+
+---
+### 📄 Solução 37.1
+$$
+\begin{align*}
+x(0) &= -2\text{m} \\
+x(1) &= 0\text{m} \\
+x(2) &= 6\text{m}
+\end{align*}
+$$
+$$\LARGE S_f = S_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}$$
+$$
+\begin{align*}
+x(2) - x(0) &= \dfrac{a \cdot t^2}{2} \\
+8\text{m} &= \dfrac{a \cdot t^2}{2} \\
+8\text{m} &= a \cdot t^2 \cdot 2^{-1} \\
+16\text{m} &= a \cdot t^2 \\
+a &= 16\text{m} \cdot t^{-2} \\
+a &= 16\text{m} \cdot 2^{-2} \\
+a &= 4\text{m/s}^2 \\
+\end{align*}
+$$
+🧐 **Resposta:**  $4m/s^2$  
+🤯 **Prova real:**
+$$\LARGE S_f = S_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}$$
+$$
+\begin{align*}
+S_f &= -2m + \dfrac{a \cdot t^2}{2} \\
+S_f &= -2m + \dfrac{4m/s^2 \cdot 1s^2}{2} \\
+S_f &= -2m + \dfrac{4m}{2} \\
+S_f &= -2m + 2m \\
+S_f &= 0 \\
+\end{align*}
+$$
+---
+### 📄 Solução 37.1
+🧐 **Resposta:** Positivo
+
+---
+## 📌 Questão 42
+Você está discutindo no telefone celular enquanto segue um carro de polícia não identificado, a $25 m$ de distância; os dois veículos estão a $110 km/h$. A discussão distrai sua atenção do carro de polícia por $2,0 s$ (tempo suficiente para você olhar para o telefone e exclamar: "Eu me recuso a fazer isso!"). No início desses $2,0 s$, o policial freia bruscamente, com uma desaceleração de $5,0 m/s^2$
+1. Qual é a distância entre os dois carros quando você volta a prestar atenção no trânsito? 
+2. Suponha que você leve outros $0,40 s$ para perceber o perigo e começar a frear. Se você também freia com uma desaceleração de $5,0 m/s^2$, qual é a velocidade do seu carro quando você bate no carro de polícia?
+### 📄 Solução 42.1
+$$
+S_{você} = 0m
+$$
+$$
+S_{polícia} = 25m
+$$
+$$
+v_{0_{você}} = v_{0_{polícia}} = 110km/h = 30,6m/s
+$$
+$$
+\LARGE S_f = S_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}
+$$
+$$
+\begin{align*}
+S_{f_{polícia}} &= 25m + 30,6m/s \cdot 2s + \dfrac{-5,0m/s² \cdot 4s²}{2} \\
+&=25m + 61,2m + -10,0m \\
+&=76,2m \\
+\end{align*}
+$$
+$$
+\begin{align*}
+S_{f_{você}} &= 30,6m/s \cdot 2s \\
+&= 61,2m \\
+\end{align*}
+$$
+$$
+\begin{align*}
+distância &= S_{f_{polícia}} - S_{f_{você}} \\
+&= 76,2m - 61,2m \\
+&= 15m
+\end{align*}
+$$
+### 📄 Solução 42.2
+$$
+S_{você}' = 61,2 + 30,6m/s \cdot 0,4s = 73,44m
+$$

Física/1. Tópicos Fundamentais/Matéria/Cinemática/Movimento uniforme e uniformemente variado.md

@@ -0,0 +1,55 @@
+Quando o movimento de um objeto apresenta regularidade em sua velocidade ou aceleração, ele pode ser descrito por fórmulas matemáticas.
+
+Quando um móvel mantém velocidade constante, ele executa um _movimento uniforme_. Já quando o movimento ocorre com aceleração constante, temos um _movimento uniformemente variado_.
+
+## Movimento uniforme
+O movimento uniforme é caracterizado por uma velocidade constante, ou seja, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Um exemplo comum desse tipo de movimento é observado em uma estrada sem engarrafamento. Nessas condições, é possível manter a velocidade do carro constante durante um longo período.
+
+### Propriedades do movimento uniforme
+No movimento uniforme, duas propriedades importantes podem ser destacadas:
+1. A aceleração do móvel é nula, uma vez que para haver aceleração é necessária uma variação de velocidade.
+2. A velocidade constante coincide com a velocidade média do movimento.
+
+### Fórmulas do movimento uniforme
+A equação fundamental do movimento uniforme é:
+$$
+\LARGE \Delta S = S_f - S_0 = v \cdot \Delta t
+$$
+Onde:
+- $S_f$: posição final.
+- $S_0$: posição inicial.
+- $v$: velocidade constante.
+- $\Delta t$: intervalo de tempo.
+## Movimento uniformemente variado (MUV)
+O movimento uniformemente variado é caracterizado por uma aceleração constante. Isso significa que a velocidade do móvel varia de forma uniforme ao longo do tempo. Um exemplo clássico é o movimento de queda livre, em que a aceleração devido à gravidade permanece constante.
+### Propriedades do movimento uniformemente variado
+No movimento uniformemente variado, podemos observar as seguintes propriedades:
+1. A aceleração é constante em magnitude e direção.
+2. A variação da velocidade é diretamente proporcional ao intervalo de tempo.
+3. As distâncias percorridas em intervalos de tempo consecutivos aumentam de forma não linear.
+### Fórmulas do movimento uniformemente variado
+As principais equações do MUV são:
+1. **Função horária da velocidade**: 
+    - $v_f$: velocidade final.
+    - $v_0$: velocidade inicial.
+    - $a$: aceleração.
+    - $t$: tempo instantâneo.
+$$\LARGE v_f = v_0 + a \cdot t$$
+2. **Função horária da posição**: 
+	- $S_f$: posição final.
+    - $S_0$: posição inicial.
+    - $v_0$: velocidade inicial.
+    - $a$: aceleração.
+    - $t$: tempo instantâneo.
+$$\LARGE S_f = S_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}$$
+3. **Equação de Torricelli** (sem dependência do tempo): 
+    - $v$: velocidade final.
+    - $v_0$: velocidade inicial.
+    - $a$: aceleração.
+    - $\Delta S$: deslocamento.
+$$\LARGE v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta S$$
+Essas equações são fundamentais para resolver problemas de cinemática em situações com aceleração constante.
+
+## Exercícios resolvidos
+- [Movimento uniforme](../../Exercícios/Cinemática/Movimento%20uniforme.md)
+- [Movimento uniformemente variado](../../Exercícios/Cinemática/Movimento%20uniformemente%20variado.md)

Física/Plano de estudo.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 ### **1. Tópicos Fundamentais (Revisão)**
 Inicie revisando os fundamentos, que são a base para entender os conceitos mais avançados:
 - **Cinemática**:
-    - [Movimento uniforme e uniformemente variado.](1.%20Tópicos%20Fundamentais/Cinemática/Movimento%20uniforme%20e%20uniformemente%20variado.md)
+    - [Movimento uniforme e uniformemente variado.](1.%20Tópicos%20Fundamentais/Matéria/Cinemática/Movimento%20uniforme%20e%20uniformemente%20variado.md)
     - Queda livre e lançamento vertical.
     - Movimento circular uniforme.
 - **Dinâmica**:

Matemática/1. Tópicos Fundamentais/Exercícios/Aritmética e Álgebra.md

@@ -0,0 +1,45 @@
+## Questão 1
+Demonstre que se os números positivos $a, b, c$ formar uma progressão aritmética, os números 
+$$\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
+também formam uma progressão aritmética.
+### Solução 1
+$$
+a = a_n -(n-1)d
+$$
+$$
+\begin{align*}
+a_1 &= a \\
+a_2 &= b \\
+a_3 &= c
+\end{align*}
+$$
+$$
+a_n = a + (n - 1)d
+$$
+$$
+2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}
+$$
+$$
+2a_2 = \dfrac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}
+$$
+$$
+\begin{align*}
+a_1 + a_2 &= \dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} + \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \\
+
+&= \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} + 
+\dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} \\
+
+&= \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} + \dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} \\
+
+&= \dfrac{\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}
+\end{align*}
+$$
+$$
+\dfrac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}
+$$
+$$
+2(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c}) = (\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c} + \sqrt{a})
+$$
+$$
+2(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c}) = (\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c} + \sqrt{a})
+$$

Matemática/1. Tópicos Fundamentais/Matéria/Progressão aritmética.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+Fórmula:
+$$
+a_n = a_1 + (n-1) \cdot r
+$$
+$a_n$: Termo geral ($n$ésimo termo);
+$a_1$: Primeiro termo;
+$n$: Número de termos;
+$r$: Razão da PA;

Matemática/Plano de estudo.md

@@ -1,45 +1,70 @@
 ### **1. Tópicos Fundamentais (Revisão)**
 
-Comece com uma base sólida antes de partir para tópicos mais avançados.
-
-- **Conjuntos e lógica**: análise de proposições, conjuntos numéricos.
-- **Funções**: tipos de funções, transformações, composição, inversas.
-- **Equações e inequações**: polinomiais, exponenciais, logarítmicas.
-- **Trigonometria**: relações trigonométricas, identidades, equações trigonométricas.
-- **Progressões (PA e PG)** e soma de séries.
-
+Esses tópicos são essenciais para compreender os conteúdos mais avançados:
+- **Aritmética e Álgebra**:
+	- Operações com números reais.
+	- Produtos notáveis e fatoração.
+	- Equações e inequações do 1º e 2º graus.
+	- Sistemas de equações lineares e não lineares.
+- **Funções Básicas**:
+    - Funções afim, quadrática, exponencial e logarítmica.
+    - Composição e inversão de funções.
+    - Gráficos e transformações de funções.
+- **Progressões**:
+    - PA e PG: definição, soma de termos, propriedades.
+    - Relações e aplicações práticas.
+- **Geometria Plana**:
+    - Propriedades de triângulos, quadriláteros e círculos.
+    - Relações métricas no triângulo retângulo.
+    - Teoremas básicos: Pitágoras, Tales e Ângulos na circunferência.
+---
 ### **2. Tópicos Avançados (Priorização)**
-
-Dedique mais tempo aos seguintes:
-
-- **Geometria Analítica**: reta, circunferência, cônicas.
-- **Geometria Espacial**: prismas, pirâmides, esferas e cálculo de volumes.
-- **Combinatória e Probabilidade**: princípios fundamentais, permutações, combinações.
-- **Estudo de funções especiais**: módulo, parte inteira.
-- **Cálculo Diferencial e Integral**: limites, derivadas, integrais, aplicações (áreas, volumes).
-- **Matemática Discreta**: teoria dos números, divisibilidade, congruências.
-- **Álgebra Linear**: matrizes, determinantes, sistemas lineares.
-
+Dedique mais tempo a esses tópicos, já que são exigidos em maior profundidade no ITA:
+- **Geometria Espacial**:
+    - Prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas.
+    - Cálculo de áreas e volumes.
+    - Relações entre sólidos geométricos.
+- **Trigonometria**:
+    - Relações trigonométricas fundamentais (sen² + cos² = 1).
+    - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e aplicações.
+    - Equações e identidades trigonométricas.
+- **Cálculo Diferencial e Integral**:
+    - Limites: conceitos, propriedades e casos de indeterminação.
+    - Derivadas: regras de derivação, máximos e mínimos, aplicações.
+    - Integrais: definição, técnicas de integração, área e volumes.
+- **Combinatória e Probabilidade**:
+    - Princípio Fundamental da Contagem.
+    - Arranjos, permutações e combinações.
+    - Probabilidade condicional e eventos independentes.
+- **Geometria Analítica**:
+    - Retas, circunferências e cônicas.
+    - Distâncias, áreas e relações angulares.
+    - Interseções e posições relativas.
+---
 ### **3. Estratégia de Estudo**
-
 - **Organização**:
-    - Divida seu tempo diário em blocos. Exemplo: 2h para teoria, 1h para resolução de exercícios, 1h para revisão.
-- **Prática Intensa**:
-    - Resolva questões das provas anteriores do ITA.
-    - Foque em exercícios que desafiem seu raciocínio.
-- **Análise de Erros**:
-    - Refaça questões erradas para entender os conceitos falhos.
-
+    - Estudo teórico (1h/dia): leia teoria de livros e assista a aulas.
+    - Resolução de exercícios (2h/dia): priorize provas anteriores e questões complexas.
+- **Prioridade no Tempo**:
+    - **1º mês**: Aritmética, álgebra, funções básicas, progressões.
+    - **2º mês**: Geometria plana, trigonometria, geometria analítica.
+    - **3º mês**: Geometria espacial, cálculo diferencial, integral, combinatória e probabilidade.
+---
 ### **4. Material de Estudo**
-
-- Apostilas específicas para o ITA (p. ex., do Poliedro ou do Objetivo).
-- Livros clássicos:
-    - “Tópicos de Matemática Elementar” (Gelson Iezzi e outros).
-    - “Fundamentos de Matemática Elementar” (Gelson Iezzi e Osvaldo Dolce).
-    - “Cálculo” (James Stewart, para cálculo diferencial e integral).
-
-### **5. Prioridade no Tempo**
-
-- 1º mês: Conjuntos, Funções, Trigonometria, Álgebra.
-- 2º mês: Geometria Analítica e Espacial, Progressões, Probabilidade.
-- 3º mês: Cálculo, Combinatória, Matemática Discreta, revisão geral.
+- **Livros**:
+    - **“Fundamentos de Matemática Elementar”** (Gelson Iezzi e outros).
+    - **“Matemática: Ciência e Aplicações”** (Volume único, Marcelo Rufino).
+    - **“Coleção do ITA”** (editora Poliedro) - com foco em provas anteriores.
+- **Sites e vídeos**:
+    - **YouTube**: “[Matemática Rio](https://www.youtube.com/@MatematicaRio)” (Rafael Procópio), “[Ferreto](https://www.youtube.com/@professorferretto)” e “Estudo Matemática”.
+    - **Khan Academy**: ótimo para revisão de cálculo e álgebra.
+- **Provas e simulados**:
+    - Resolva provas anteriores do ITA e do IME.
+---
+### **5. Palavras-chave para Pesquisa**
+- Exercícios ITA álgebra avançada.
+- Problemas de cálculo diferencial ITA.
+- Questões de geometria analítica ITA/IME.
+- Provas resolvidas combinatória ITA.
+- Identidades trigonométricas complexas exercícios.
+- Integrais definidas e indefinidas aplicadas.

README.md

@@ -1,3 +1,7 @@
+> 📣 Aviso: Parte do conteúdo deste repositório pode ter sido gerado por IA (Inteligência Artificial) e revisado por mim (Estupidez Genuína) 
+
+Cheat Sheet para LaTeX: https://tug.ctan.org/info/undergradmath/undergradmath.pdf
+# Planos de estudos
 ## Física
 - [Plano de estudo](Física/Plano%20de%20estudo.md)
 ## Matemática