44 lines
1.2 KiB
Markdown
44 lines
1.2 KiB
Markdown
## Questão 1
|
|
Demonstre que se os números positivos $a, b, c$ formar uma progressão aritmética, os números $$\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
|
|
também formam uma progressão aritmética.
|
|
### Solução 1
|
|
$$
|
|
a = a_n -(n-1)d
|
|
$$
|
|
$$
|
|
\begin{align*}
|
|
a_1 &= a \\
|
|
a_2 &= b \\
|
|
a_3 &= c
|
|
\end{align*}
|
|
$$
|
|
$$
|
|
a_n = a + (n - 1)d
|
|
$$
|
|
$$
|
|
2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}
|
|
$$
|
|
$$
|
|
2a_2 = \dfrac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}
|
|
$$
|
|
$$
|
|
\begin{align*}
|
|
a_1 + a_2 &= \dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} + \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \\
|
|
|
|
&= \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} +
|
|
\dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} \\
|
|
|
|
&= \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} + \dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} \\
|
|
|
|
&= \dfrac{\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}
|
|
\end{align*}
|
|
$$
|
|
$$
|
|
\dfrac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}
|
|
$$
|
|
$$
|
|
2(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c}) = (\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c} + \sqrt{a})
|
|
$$
|
|
$$
|
|
2(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c}) = (\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c} + \sqrt{a})
|
|
$$ |