kasparyan/obsidian-estudos_ita
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obsidian-estudos_ita/Física/1. Tópicos Fundamentais/Exercícios/Cinemática/Movimento uniforme.md

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📌 Questão 1

Que distância seu carro percorre a 88km/h durante 1s em que você olha um acidente à margem da estrada.

📄 Solução 1

v=88km/h
t=1s

\Delta S = v \cdot \Delta t \Rightarrow
S_f - S_0 = v \cdot (t_f - t_0)
S_f - S_0 = 88km/h \cdot 1s
S_f - S_0 = \dfrac{88}{3,6} m*s^{-1} \cdot 1s
S_f - S_0 = \dfrac{88}{3,6} m
\Delta S = \dfrac{88}{3,6} m = 24,4\cdots m

🧐 Resposta: 24,4m

📌 Questão 7 😭

Você dirige da cidade A para a cidade B: Metade do tempo a 56,3km/h e a outra metade a 88,5km/h. Na volta você percorre metade da distância a 56,3km/h e a outra metade 88,5km/h.

  • Pergunta: Qual sua velocidade escalar média?
    1. Da cidade A a cidade B
    2. de B até A, na volta e
    3. na viagem completa de ida e volta

📄 Solução 7.1:

v_1 = 56,3km/h
v_2 = 88,5km/h

v_m = \dfrac{v_1 + v_2}{2}
v_m = \dfrac{56,3km/h + 88,5km/h}{2}
v_m = \dfrac{144,8km/h}{2} = 72,4km/h

🧐 Resposta: 72,4km/h

📄 Solução 7.2

v_1 = 56,3km/h = \dfrac{\Delta S}{t_1 \cdot 2}

v_2 = 88,5km/h = \dfrac{\Delta S}{t_2 \cdot 2}

v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}

t_1 = \dfrac{\Delta S}{v_1 \cdot 2}

t_2 = \dfrac{\Delta S}{v_2 \cdot 2}

v_m = \dfrac{\Delta S}{\dfrac{\Delta S}{v_1 \cdot 2} + \dfrac{\Delta S}{v_2 \cdot 2}}

v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta S \cdot (\dfrac{1}{v_1 \cdot 2} + \dfrac{1}{v_2 \cdot 2})}

v_m = \dfrac{1}{(\dfrac{1}{v_1 \cdot 2} + \dfrac{1}{v_2 \cdot 2})}

v_m = \dfrac{1}{\dfrac{1}{56,3km/h \cdot 2} + \dfrac{1}{88,5km/h \cdot 2}}

v_m = \dfrac{1}{\dfrac{1}{112,6km/h} + \dfrac{1}{177km/h}}

v_m = \dfrac{1}{\dfrac{1}{112,6km/h} + \dfrac{1}{177km/h}}

\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{1}{112,6km/h} + \dfrac{1}{177km/h}}

\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{177km/h}{112,6km/h \cdot 177km/h} + \dfrac{112,6km/h}{112,6km/h \cdot 177km/h}}

\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{177km/h + 112,6km/h}{112,6km/h \cdot 177km/h}}

\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{289,6km * h^{-1}}{19930,2km^2 h^{-2}}}

v_m = \dfrac{19930,2km^2 h^{-2}}{289,6km * h^{-1}}

v_m = \dfrac{19930,2km/h}{289,6}

v_m = 68,819751381 km/h

🧐 Resposta: 68,82km/h

📄 Solução 7.3

v_{m_{ida}} = 72,4 km/h
v_{m_{volta}} = 68,82 km/h

v_m = \dfrac{v_{m_{ida}} * t_{ida} + v_{m_{volta}} * t_{volta}}{t_{ida} + t_{volta}}

v_m = \dfrac{2d}{t_{ida} + t_{volta}}

v_{ida} = \dfrac{d}{t_{ida}} \Rightarrow t_{ida} = \dfrac{d}{v_{ida}}

v_{volta} = \dfrac{d}{t_{volta}} \Rightarrow t_{volta} = \dfrac{d}{v_{volta}}

v_m = \dfrac{2d}{\dfrac{d}{v_{ida}} + \dfrac{d}{v_{volta}}}

v_m = \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_{ida}} + \dfrac{1}{v_{volta}}}

v_m = \dfrac{2}{\dfrac{1}{72,4} + \dfrac{1}{68,82}}

\dfrac{1}{v_m} = \dfrac{\dfrac{1}{72,4} + \dfrac{1}{68,82}}{2}

\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{1}{72,4} + \dfrac{1}{68,82}

\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{68,82}{68,82 * 72,4} + \dfrac{72,4}{68,82 * 72,4}

\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{68,82}{4982,568} + \dfrac{72,4}{4982,568}

\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{141,22}{4982,568}

\dfrac{v_m}{2} = \dfrac{4982,568}{141,22} = 35,282311287

v_m = 35,282311287 * 2 = 70,56 km/h

🧐 Resposta: 70,56km/h

📌 Questão 9

A posição de um objeto que se move em linha reta é dada por x = 3t - 4t^2 + t^3, sendo x em metros e t em segundos

  • Perguntas:
    1. Qual a posição do objeto nos instantes 0, 1, 2, 3, 4 s?
    2. Qual o deslocamento do objeto entre t = 0s e t = 2s? E entre t = 0s e t = 4s?
    3. Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de t = 0s e t = 4s? E entre t = 0s e t = 3s?

📄 Resolução 9.1

x(t) = 3t - 4t^2 + t^3

x(0) = \LARGE 0
x(1) = 3 - 4 + 1 = \LARGE 0
x(2) = 3*2 - 4 * 2^2 + 2^3 = \LARGE -2
x(3) = 9 - 4*9 + 3^3 = \LARGE 0
x(4) = 3*4 - 4*4^2 + 4^3 = \LARGE 12

🧐 Resposta: Esses números ai em cima

📄 Resolução 9.2

\Delta S = S_f - S_0
\Delta S (t_0, t_f) = x(t_f) - x(t_0)

\Delta S (0, 2) = -2m - 0m = \Large -2m
\Delta S (0, 4) = 12m - 0m = \Large 12m

🧐 Resposta: -2m e 12m respectivamente

📄 Resolução 9.2

v = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}

v(t_0, t_f) = \dfrac{\Delta S (t_0, t_f)}{t_f - t_0}

\LARGE v(t_0, t_f) = \dfrac{x(t_f) - x(t_0)}{t_f - t_0}

v(0, 4) = \dfrac{x(4) - x(0)}{4s - 0s} = \dfrac{12m}{4s} = 3m/s
v(0, 3) = \dfrac{x(3) - x(0)}{3s - 0s} = \dfrac{0m}{3s} = 0m/s

🧐 Resposta: 3m/s e 0m/s respectivamente

📌 Questão 11

Calcule sua velocidade escalar média nos dois casos seguintes.

  1. Você caminha 72 m à razão de 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3.0 m/s numa reta.
  2. Você caminha durante 1,0 min. a 1,2 m/s e depois corre durante 1,0 min. 3,0 m/s numa reta

📄 Resolução 11.1

\Delta S_1 = 72m
\Delta S_2 = 72m

v_1 = 1,2m/s
v_2 = 3m/s

\Delta t_1 = \dfrac{\Delta S_1}{v_1} = \dfrac{72m}{1,2m/s} = 60s
\Delta t_2 = \dfrac{\Delta S_2}{v_2} = \dfrac{72m}{3m/s} = 24s

v_{média} = \dfrac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2} = \dfrac{72m + 72m}{60s + 24s} = \dfrac{144m}{84s} = 1,71m/s

🧐 Resposta: 2,1m/s

📄 Resolução 11.2

v_1 = 1,2m/s
v_2 = 3m/s

\Delta t_1 = 60s
\Delta t_2 = 60s

\Delta S_1 = v_1 \cdot \Delta t_1 = 1,2m/s \cdot 60s = 72m
\Delta S_2 = v_2 \cdot \Delta t_2 = 180m

v_{média} = \dfrac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2} = \dfrac{72m + 180}{60s + 60s} = \dfrac{252m}{120s} = 2,1m/s

🧐 Resposta: 2,1m/s

📌 Questão 13

A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo X é dado por x = 9,75 + 1,50t^3, sendo t em segundos e x em centímetros. Considere o intervalo de tempo de t = 2s a t = 3s e calcule:

  1. A velocidade média
  2. A velocidade instantânea em t =2s
  3. A velocidade instantânea em t=3s
  4. A velocidade instantânea em t=2,5s
  5. A velocidade instantânea quando a partícula estiver no ponto médio entre as posições para t=2s e t=3

📄 Resolução 13.1

$x(2) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 21,75cm$ x(3) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 50,25cm

v_m = \dfrac{S_f - S_0}{\Delta t} = \dfrac{50,25cm - 21,75cm}{1s} = \dfrac{28,5cm}{1s} = 0,285m/s

🧐 Resposta: 0,285m/s

📄 Resolução 13.2


\begin{gathered}
S = f(t) = 9,75 + 1,50 t^3 \\
f'(t) = 4,5 t ^2 \Rightarrow \\
f'(2) = 4,5 \cdot 2 ^2 = 4,5 \cdot 4 \Rightarrow \\
f'(2) = 18
\end{gathered}

🧐 Resposta: 0,18\text{m/s}

📄 Resolução 13.3


\begin{gathered}
S = f(t) = 9,75 + 1,50 t^3 \\
f'(t) = 4,5 t ^2 \Rightarrow \\
f'(3) = 4,5 \cdot 3 ^2 = 4,5 \cdot 9 \Rightarrow \\
f'(3) = 40,5
\end{gathered}

🧐 Resposta: 0,405\text{m/s}

📄 Resolução 13.4


\begin{gathered}
S = f(t) = 9,75 + 1,50 t^3 \\
f'(t) = 4.5 t ^2 \Rightarrow \\
f'(2.5) = 4.5 \cdot 2.5 ^2 = 4.5 \cdot 6,25 \Rightarrow \\
f'(2.5) = 28,125
\end{gathered}

🧐 Resposta: 0,28125\text{m/s}

📄 Resolução 13.5


x(2) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 21,75cm 


x(3) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 50,25cm


\dfrac{x(2) + x(3)}{2} = \dfrac{21,75 + 50,25}{2} = 36 \\


\begin{align*}
36 &= 9,75 + 1,50 t^3 \Rightarrow \\
1,50t ^3 &= 36 - 9,75 \Rightarrow \\
1,50t ^3 &= 26,25 \Rightarrow \\
t^3 &= 17,5 \Rightarrow \\
t &= \sqrt[3]{17,5} \\
\end{align*}


\begin{align*}
f'(t) &= 4,5 t ^2 \\
&= 4,5 \cdot (\sqrt[3]{17,5}) ^2 \\
&= 4,5 \cdot \sqrt[3]{17,5^2} \\
&= 4,5 \cdot \sqrt[3]{17,5^3 \cdot 17,5^{-1}} \\
&= 4,5 \cdot 17,5^{-1} \\
&= 4,5 \cdot \dfrac{1}{17,5} = \dfrac{4,5}{17,5} \\
&= 4,5 \cdot \dfrac{1}{17,5} = \dfrac{4,5}{17,5} \\
\end{align*}

🧐 Resposta: 2,1m/s