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## Questão 1
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Demonstre que se os números positivos $a, b, c$ formar uma progressão aritmética, os números
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$$\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
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também formam uma progressão aritmética.
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### Solução 1
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$$
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a = a_n -(n-1)d
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$$
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\begin{align*}
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a_1 &= a \\
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a_2 &= b \\
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a_3 &= c
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\end{align*}
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$$
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a_n = a + (n - 1)d
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$$
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2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}
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2a_2 = \dfrac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}
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$$
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$$
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\begin{align*}
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a_1 + a_2 &= \dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} + \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \\
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&= \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} +
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\dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} \\
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&= \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} + \dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} \\
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&= \dfrac{\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}
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\end{align*}
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$$
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$$
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\dfrac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}
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$$
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$$
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2(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c}) = (\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c} + \sqrt{a})
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$$
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$$
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2(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c}) = (\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c} + \sqrt{a})
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$$ |