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1. Vetores 📐
Representação de um Vetor
- Um vetor
\vec{v}pode ser representado em termos dos vetores unitários\vec{i}e\vec{j}:
\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}- Ou pela sua forma de coordenadas:
\vec{v} = (x, y)1.1 Operações com Vetores
Exemplo 1: Combinação Linear
Sejam \vec{v} = (-1, 4) e \vec{u} = (2, -3), encontre 3\vec{u} + 2\vec{v}.
3\vec{u} + 2\vec{v} = 3(2, -3) + 2(-1, 4)
3\vec{u} + 2\vec{v} = (6, -9) + (-2, 8) = (6 - 2, -9 + 8)3\vec{u} + 2\vec{v} = (4, -1)
Exemplo 2: Determinação de um Vetor Desconhecido
Determinar o vetor \vec{w} na igualdade 3\vec{w} + 2\vec{u} = \dfrac{1}{2}\vec{v} + \vec{w}, onde \vec{u} = (3, 1) e \vec{v} = (7, 4).
Resolução da Equação: $3\vec{w} - \vec{w} = \dfrac{1}{2}\vec{v} - 2\vec{u}$ $2\vec{w} = \dfrac{1}{2}(7, 4) - 2(3, 1)$ $2\vec{w} = (\frac{7}{2}, 2) - (6, 2)$ $2\vec{w} = (\frac{7}{2} - 6, 2 - 2) = (\frac{7 - 12}{2}, 0)$ $2\vec{w} = (-\frac{5}{2}, 0)$
\vec{w} = \frac{1}{2}(-\frac{5}{2}, 0)\vec{w} = (-\frac{5}{4}, 0)
1.2 Vetor Definido por Dois Pontos
Definição
Sejam A = (x_1, y_1) e B = (x_2, y_2) dois pontos. O vetor de origem no ponto A e extremidade no ponto B é:
\overrightarrow{AB} = B - A = (x_2-x_1, y_2-y_1)Exemplo: Encontrando \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BA}
Se A=(1,1) e B=(-1,3), encontre os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BA}.
Vetor
\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-1-1, 3-1)\overrightarrow{AB} = (-2, 2)Vetor
\overrightarrow{BA}:\overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) = (1 - (-1), 1 - 3) = (1 + 1, 1 - 3)\overrightarrow{BA} = (2, -2)
1.3 Vetores Paralelos
Condição de Paralelismo
Como saber se os vetores \vec{u} = (x_1, y_1) e \vec{v} = (x_2, y_2) são paralelos?
\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} \quad (\text{com } x_2 \ne 0 \text{ e } y_2 \ne 0)Ou equivalentemente, se \vec{u} = k\vec{v} para algum escalar k \ne 0.
1.4 Módulo de um Vetor (Norma)
Módulo de \vec{v}=(x,y)
O módulo (ou norma) de um vetor \vec{v}=(x,y) é igual a:
|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2}Propriedades:
- A relação entre o módulo ao quadrado e as coordenadas é:
$$|\vec{v}|^2 = x^2 + y - Como o módulo
|\vec{v}|é sempre não-negativo (|\vec{v}| \ge 0), a única solução válida é a raiz quadrada positiva:$$|\vec{v}|=\sqrt{x^2 + y^
Módulo de \overrightarrow{AB}
Caso A=(x_1,y_1) e B=(x_2, y_2), o módulo do vetor \overrightarrow{AB} é:
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}(A expressão original estava incorreta: faltavam os quadrados em cada termo da subtração.)
1.5 Versor e Oposto de um Vetor
Exercício 1
Encontre o versor e o oposto de \vec{v} = (3, -4) e o módulo de \overrightarrow{AB} onde A = (0,1) e B = (2,2).
1. Versor (
\hat{v}): O versor é o vetor unitário na mesma direção e sentido de\vec{v}.
- Primeiro, o módulo de
\vec{v}:|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5- O versor é: $$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{5}(3, -4) = (\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})
2. Oposto de
\vec{v}: O oposto é-\vec{v}.-\vec{v} = -(3, -4) = (-3, 4)3. Módulo de
\overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 0, 2 - 1) = (2, 1)|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
Exercício 2
Dado os vetores \vec{u} = (-1, 3) e \vec{v} = (-2,-1), determine |2\vec{u} - 3\vec{v}|.
Cálculo da Expressão Vetorial:
2\vec{u} - 3\vec{v} = 2(-1,3) - 3(-2, -1)2\vec{u} - 3\vec{v} = (-2, 6) + (6, 3)2\vec{u} - 3\vec{v} = (-2 + 6, 6 + 3) = (4, 9)Cálculo do Módulo:
|2\vec{u} - 3\vec{v}| = |(4,9)| = \sqrt{4^2 + 9^2}|2\vec{u} - 3\vec{v}| = \sqrt{16 + 81}|2\vec{u} - 3\vec{v}| = \sqrt{97}
(Havia um erro de cálculo no texto original: 4^2 = 16, não 18. A correção foi aplicada acima.)