caderno-virtual/Geometria Analítica/1. Vetores.md

\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}
\vec{v} = (x, y)

• Exemplo: Sejam \vec{v} = (-1, 4) e \vec{u} = (2, -3) encontre 3\vec{u} + 2\vec{v}

3(2, -3) + 2(-1, 4)

Exemplo: Determinar o vetor w na igualdade 3\vec{w} + 2\vec{u} = \dfrac{1}{2}\vec{v} + \vec{w} onde \vec{u} = (3, 1) e \vec{v} = (7, 4)

...
w = (-\frac{7}{2},2)

Definição: Sejam A = (x_1, y_1) e B = (x_2, y_2) dois pontos, então o vetor de origem no ponto A e extremidade no ponto B é igual a \overrightarrow{AB} = B - A = (x_2-x_1, y_2-y_1)

Se A=(1,1) e B=(-1,3) encontre os vetores \vec{AB} e \vec{BA}

\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-1-1, 3-1)
\overrightarrow{AB} = (-2, 2)

\overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) = (1 + 1, 1 - 3)
\overrightarrow{BA} = (2, -2)

Como saber se os vetores \vec{u} = (x_1, y_2) e \vec{v} = (x_2, y_2) são paralelos?

(x_1, y_1) \parallel (x_2, y_2) \Leftrightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}

Módulo de um vetor \vec{v}=(x,y) é igual \sqrt{x^2+y^2} = |\vec{v}|

Caso A=(x_1,y_1) e B=(x_2, y_2) então |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)}

{|\vec{v}|}^2 = x^2 + y^2
{|\vec{v}|} = \pm\sqrt{x^2 + y^2}
Uma vez que |\vec{v}| é sempre \ge 0 então |\vec{v}|=\sqrt{x^2 + y^2}

Exercício: Encontre o versor e o oposto de |\vec{v}| = (3, -4) e \overrightarrow{AB} onde A = (0,1) e B = (2,2)

...

Exercício: Dado os vetores \vec{u} = (-1, 3) e \vec{v} = (-2,-1) determine |2\vec{u} - 3\vec{v}|

2\vec{u} - 3\vec{v} = |2(-1,3) - 3(-2, -1)|
= |(-2,6) +(6, 3)|
= |(4,9)| = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{18 + 81}
= \sqrt{97}