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Geometria Analítica/1. Vetores.md

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-# 1. Vetores 📐
 
-## Representação de um Vetor
+$\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$  
+$\vec{v} = (x, y)$  
 
-* Um vetor $\vec{v}$ pode ser representado em termos dos vetores unitários $\vec{i}$ e $\vec{j}$:
+- **Exemplo:** Sejam $\vec{v} = (-1, 4)$ e $\vec{u} = (2, -3)$ encontre $3\vec{u} + 2\vec{v}$  
-    $$\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$$
+> $3(2, -3) + 2(-1, 4)$  
-* Ou pela sua forma de coordenadas:
+	
-    $$\vec{v} = (x, y)$$
+**Exemplo:** Determinar o vetor $w$ na igualdade $3\vec{w} + 2\vec{u} = \dfrac{1}{2}\vec{v} + \vec{w}$ onde $\vec{u} = (3, 1)$ e $\vec{v} = (7, 4)$
+> $...$  
+> $w = (-\frac{7}{2},2)$  
 
-## 1.1 Operações com Vetores
+**Definição:** Sejam $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ dois pontos, então o vetor de origem no ponto $A$ e extremidade no ponto $B$ é igual a $\overrightarrow{AB} = B - A = (x_2-x_1, y_2-y_1)$
 
-### Exemplo 1: Combinação Linear
+Se $A=(1,1)$ e $B=(-1,3)$ encontre os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{BA}$
-Sejam $\vec{v} = (-1, 4)$ e $\vec{u} = (2, -3)$, encontre $3\vec{u} + 2\vec{v}$.
+> $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-1-1, 3-1)$  
-> $$3\vec{u} + 2\vec{v} = 3(2, -3) + 2(-1, 4)$$
+> $\overrightarrow{AB} = (-2, 2)$  
-> $3\vec{u} + 2\vec{v} = (6, -9) + (-2, 8) = (6 - 2, -9 + 8)$
+> 
-> $$3\vec{u} + 2\vec{v} = (4, -1)$$
+> $\overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) = (1 + 1, 1 - 3)$  
+> $\overrightarrow{BA} = (2, -2)$  
 
-### Exemplo 2: Determinação de um Vetor Desconhecido
+Como saber se os vetores $\vec{u} = (x_1, y_2)$ e $\vec{v} = (x_2, y_2)$ são paralelos?
-Determinar o vetor $\vec{w}$ na igualdade $3\vec{w} + 2\vec{u} = \dfrac{1}{2}\vec{v} + \vec{w}$, onde $\vec{u} = (3, 1)$ e $\vec{v} = (7, 4)$.
+$$(x_1, y_1) \parallel (x_2, y_2) \Leftrightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$$
-> **Resolução da Equação:**
+Módulo de um vetor $\vec{v}=(x,y)$  é igual $\sqrt{x^2+y^2} = |\vec{v}|$ 
-> $3\vec{w} - \vec{w} = \dfrac{1}{2}\vec{v} - 2\vec{u}$
-> $2\vec{w} = \dfrac{1}{2}(7, 4) - 2(3, 1)$
-> $2\vec{w} = (\frac{7}{2}, 2) - (6, 2)$
-> $2\vec{w} = (\frac{7}{2} - 6, 2 - 2) = (\frac{7 - 12}{2}, 0)$
-> $2\vec{w} = (-\frac{5}{2}, 0)$
-> $\vec{w} = \frac{1}{2}(-\frac{5}{2}, 0)$
-> $$\vec{w} = (-\frac{5}{4}, 0)$$
-## 1.2 Vetor Definido por Dois Pontos
 
-### Definição
+Caso $A=(x_1,y_1)$ e $B=(x_2, y_2)$ então $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)}$ 
-Sejam $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ dois pontos. O vetor de origem no ponto $A$ e extremidade no ponto $B$ é:
-$$\overrightarrow{AB} = B - A = (x_2-x_1, y_2-y_1)$$
 
-### Exemplo: Encontrando $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$
+${|\vec{v}|}^2 = x^2 + y^2$  
-Se $A=(1,1)$ e $B=(-1,3)$, encontre os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$.
+${|\vec{v}|} = \pm\sqrt{x^2 + y^2}$  
-> **Vetor $\overrightarrow{AB}$:**
+Uma vez que $|\vec{v}|$ é sempre $\ge 0$ então $|\vec{v}|=\sqrt{x^2 + y^2}$  
-> $$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-1-1, 3-1)$$
-> $$\overrightarrow{AB} = (-2, 2)$$
->
-> **Vetor $\overrightarrow{BA}$:**
-> $$\overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) = (1 - (-1), 1 - 3) = (1 + 1, 1 - 3)$$
-> $$\overrightarrow{BA} = (2, -2)$$
 
-## 1.3 Vetores Paralelos
+**Exercício:** Encontre o versor e o oposto de $|\vec{v}| = (3, -4)$ e $\overrightarrow{AB}$ onde $A = (0,1)$ e $B = (2,2)$
+> $...$  
 
-### Condição de Paralelismo
+**Exercício:** Dado os vetores $\vec{u} = (-1, 3)$ e $\vec{v} = (-2,-1)$ determine $|2\vec{u} - 3\vec{v}|$
-Como saber se os vetores $\vec{u} = (x_1, y_1)$ e $\vec{v} = (x_2, y_2)$ são paralelos?
+> $2\vec{u} - 3\vec{v} = |2(-1,3) - 3(-2, -1)|$  
-$$\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} \quad (\text{com } x_2 \ne 0 \text{ e } y_2 \ne 0)$$
+> $= |(-2,6) +(6, 3)|$  
-*Ou equivalentemente, se $\vec{u} = k\vec{v}$ para algum escalar $k \ne 0$.*
+> $= |(4,9)| = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{18 + 81}$  
-
+> $= \sqrt{97}$
-## 1.4 Módulo de um Vetor (Norma)
-
-### Módulo de $\vec{v}=(x,y)$
-O módulo (ou norma) de um vetor $\vec{v}=(x,y)$ é igual a:
-$$|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2}$$
-
-**Propriedades:**
-* A relação entre o módulo ao quadrado e as coordenadas é:
-    $$|\vec{v}|^2 = x^2 + y^2$$
-* Como o módulo $|\vec{v}|$ é sempre não-negativo ($|\vec{v}| \ge 0$), a única solução válida é a raiz quadrada positiva:
-    $$|\vec{v}|=\sqrt{x^2 + y^2}$$
-
-### Módulo de $\overrightarrow{AB}$
-Caso $A=(x_1,y_1)$ e $B=(x_2, y_2)$, o módulo do vetor $\overrightarrow{AB}$ é:
-$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
-*(A expressão original estava incorreta: faltavam os quadrados em cada termo da subtração.)*
-
-## 1.5 Versor e Oposto de um Vetor
-
-### Exercício 1
-Encontre o **versor** e o **oposto** de $\vec{v} = (3, -4)$ e o módulo de $\overrightarrow{AB}$ onde $A = (0,1)$ e $B = (2,2)$.
-
-> **1. Versor ($\hat{v}$):** O versor é o vetor unitário na mesma direção e sentido de $\vec{v}$.
-> * Primeiro, o módulo de $\vec{v}$: $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
-> * O versor é: $$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{5}(3, -4) = (\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$$
->
-> **2. Oposto de $\vec{v}$:** O oposto é $-\vec{v}$.
-> $$-\vec{v} = -(3, -4) = (-3, 4)$$
->
-> **3. Módulo de $\overrightarrow{AB}$:**
-> * $\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 0, 2 - 1) = (2, 1)$
-> * $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$
-
-### Exercício 2
-Dado os vetores $\vec{u} = (-1, 3)$ e $\vec{v} = (-2,-1)$, determine $|2\vec{u} - 3\vec{v}|$.
-
-> **Cálculo da Expressão Vetorial:**
-> $$2\vec{u} - 3\vec{v} = 2(-1,3) - 3(-2, -1)$$
-> $$2\vec{u} - 3\vec{v} = (-2, 6) + (6, 3)$$
-> $$2\vec{u} - 3\vec{v} = (-2 + 6, 6 + 3) = (4, 9)$$
->
-> **Cálculo do Módulo:**
-> $$|2\vec{u} - 3\vec{v}| = |(4,9)| = \sqrt{4^2 + 9^2}$$
-> $$|2\vec{u} - 3\vec{v}| = \sqrt{16 + 81}$$
-> $$|2\vec{u} - 3\vec{v}| = \sqrt{97}$$
-*(Havia um erro de cálculo no texto original: $4^2 = 16$, não $18$. A correção foi aplicada acima.)*