From ebbded35183cf569b1b08af884ed1b2d3f02e0da Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=C3=81lvaro=20Ant=C3=B4nio=20de=20Lacerda=20Ros=C3=A1rio?= Date: Tue, 4 Nov 2025 16:16:13 +0000 Subject: [PATCH] revert 1b6322dd171444a96c2e1b55bd23886ba99d1ad3 revert vault backup: 2025-11-04 11:18:18 --- Geometria Analítica/1. Vetores.md | 116 ++++++++---------------------- 1 file changed, 29 insertions(+), 87 deletions(-) diff --git a/Geometria Analítica/1. Vetores.md b/Geometria Analítica/1. Vetores.md index 63f5648..2612c6f 100644 --- a/Geometria Analítica/1. Vetores.md +++ b/Geometria Analítica/1. Vetores.md @@ -1,96 +1,38 @@ -# 1. Vetores 📐 -## Representação de um Vetor +$\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$ +$\vec{v} = (x, y)$ -* Um vetor $\vec{v}$ pode ser representado em termos dos vetores unitários $\vec{i}$ e $\vec{j}$: - $$\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$$ -* Ou pela sua forma de coordenadas: - $$\vec{v} = (x, y)$$ +- **Exemplo:** Sejam $\vec{v} = (-1, 4)$ e $\vec{u} = (2, -3)$ encontre $3\vec{u} + 2\vec{v}$ +> $3(2, -3) + 2(-1, 4)$ + +**Exemplo:** Determinar o vetor $w$ na igualdade $3\vec{w} + 2\vec{u} = \dfrac{1}{2}\vec{v} + \vec{w}$ onde $\vec{u} = (3, 1)$ e $\vec{v} = (7, 4)$ +> $...$ +> $w = (-\frac{7}{2},2)$ -## 1.1 Operações com Vetores +**Definição:** Sejam $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ dois pontos, então o vetor de origem no ponto $A$ e extremidade no ponto $B$ é igual a $\overrightarrow{AB} = B - A = (x_2-x_1, y_2-y_1)$ -### Exemplo 1: Combinação Linear -Sejam $\vec{v} = (-1, 4)$ e $\vec{u} = (2, -3)$, encontre $3\vec{u} + 2\vec{v}$. -> $$3\vec{u} + 2\vec{v} = 3(2, -3) + 2(-1, 4)$$ -> $3\vec{u} + 2\vec{v} = (6, -9) + (-2, 8) = (6 - 2, -9 + 8)$ -> $$3\vec{u} + 2\vec{v} = (4, -1)$$ +Se $A=(1,1)$ e $B=(-1,3)$ encontre os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{BA}$ +> $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-1-1, 3-1)$ +> $\overrightarrow{AB} = (-2, 2)$ +> +> $\overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) = (1 + 1, 1 - 3)$ +> $\overrightarrow{BA} = (2, -2)$ -### Exemplo 2: Determinação de um Vetor Desconhecido -Determinar o vetor $\vec{w}$ na igualdade $3\vec{w} + 2\vec{u} = \dfrac{1}{2}\vec{v} + \vec{w}$, onde $\vec{u} = (3, 1)$ e $\vec{v} = (7, 4)$. -> **Resolução da Equação:** -> $3\vec{w} - \vec{w} = \dfrac{1}{2}\vec{v} - 2\vec{u}$ -> $2\vec{w} = \dfrac{1}{2}(7, 4) - 2(3, 1)$ -> $2\vec{w} = (\frac{7}{2}, 2) - (6, 2)$ -> $2\vec{w} = (\frac{7}{2} - 6, 2 - 2) = (\frac{7 - 12}{2}, 0)$ -> $2\vec{w} = (-\frac{5}{2}, 0)$ -> $\vec{w} = \frac{1}{2}(-\frac{5}{2}, 0)$ -> $$\vec{w} = (-\frac{5}{4}, 0)$$ -## 1.2 Vetor Definido por Dois Pontos +Como saber se os vetores $\vec{u} = (x_1, y_2)$ e $\vec{v} = (x_2, y_2)$ são paralelos? +$$(x_1, y_1) \parallel (x_2, y_2) \Leftrightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$$ +Módulo de um vetor $\vec{v}=(x,y)$ é igual $\sqrt{x^2+y^2} = |\vec{v}|$ -### Definição -Sejam $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ dois pontos. O vetor de origem no ponto $A$ e extremidade no ponto $B$ é: -$$\overrightarrow{AB} = B - A = (x_2-x_1, y_2-y_1)$$ +Caso $A=(x_1,y_1)$ e $B=(x_2, y_2)$ então $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)}$ -### Exemplo: Encontrando $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$ -Se $A=(1,1)$ e $B=(-1,3)$, encontre os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$. -> **Vetor $\overrightarrow{AB}$:** -> $$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-1-1, 3-1)$$ -> $$\overrightarrow{AB} = (-2, 2)$$ -> -> **Vetor $\overrightarrow{BA}$:** -> $$\overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) = (1 - (-1), 1 - 3) = (1 + 1, 1 - 3)$$ -> $$\overrightarrow{BA} = (2, -2)$$ +${|\vec{v}|}^2 = x^2 + y^2$ +${|\vec{v}|} = \pm\sqrt{x^2 + y^2}$ +Uma vez que $|\vec{v}|$ é sempre $\ge 0$ então $|\vec{v}|=\sqrt{x^2 + y^2}$ -## 1.3 Vetores Paralelos +**Exercício:** Encontre o versor e o oposto de $|\vec{v}| = (3, -4)$ e $\overrightarrow{AB}$ onde $A = (0,1)$ e $B = (2,2)$ +> $...$ -### Condição de Paralelismo -Como saber se os vetores $\vec{u} = (x_1, y_1)$ e $\vec{v} = (x_2, y_2)$ são paralelos? -$$\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} \quad (\text{com } x_2 \ne 0 \text{ e } y_2 \ne 0)$$ -*Ou equivalentemente, se $\vec{u} = k\vec{v}$ para algum escalar $k \ne 0$.* - -## 1.4 Módulo de um Vetor (Norma) - -### Módulo de $\vec{v}=(x,y)$ -O módulo (ou norma) de um vetor $\vec{v}=(x,y)$ é igual a: -$$|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2}$$ - -**Propriedades:** -* A relação entre o módulo ao quadrado e as coordenadas é: - $$|\vec{v}|^2 = x^2 + y^2$$ -* Como o módulo $|\vec{v}|$ é sempre não-negativo ($|\vec{v}| \ge 0$), a única solução válida é a raiz quadrada positiva: - $$|\vec{v}|=\sqrt{x^2 + y^2}$$ - -### Módulo de $\overrightarrow{AB}$ -Caso $A=(x_1,y_1)$ e $B=(x_2, y_2)$, o módulo do vetor $\overrightarrow{AB}$ é: -$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ -*(A expressão original estava incorreta: faltavam os quadrados em cada termo da subtração.)* - -## 1.5 Versor e Oposto de um Vetor - -### Exercício 1 -Encontre o **versor** e o **oposto** de $\vec{v} = (3, -4)$ e o módulo de $\overrightarrow{AB}$ onde $A = (0,1)$ e $B = (2,2)$. - -> **1. Versor ($\hat{v}$):** O versor é o vetor unitário na mesma direção e sentido de $\vec{v}$. -> * Primeiro, o módulo de $\vec{v}$: $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ -> * O versor é: $$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{5}(3, -4) = (\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$$ -> -> **2. Oposto de $\vec{v}$:** O oposto é $-\vec{v}$. -> $$-\vec{v} = -(3, -4) = (-3, 4)$$ -> -> **3. Módulo de $\overrightarrow{AB}$:** -> * $\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 0, 2 - 1) = (2, 1)$ -> * $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$ - -### Exercício 2 -Dado os vetores $\vec{u} = (-1, 3)$ e $\vec{v} = (-2,-1)$, determine $|2\vec{u} - 3\vec{v}|$. - -> **Cálculo da Expressão Vetorial:** -> $$2\vec{u} - 3\vec{v} = 2(-1,3) - 3(-2, -1)$$ -> $$2\vec{u} - 3\vec{v} = (-2, 6) + (6, 3)$$ -> $$2\vec{u} - 3\vec{v} = (-2 + 6, 6 + 3) = (4, 9)$$ -> -> **Cálculo do Módulo:** -> $$|2\vec{u} - 3\vec{v}| = |(4,9)| = \sqrt{4^2 + 9^2}$$ -> $$|2\vec{u} - 3\vec{v}| = \sqrt{16 + 81}$$ -> $$|2\vec{u} - 3\vec{v}| = \sqrt{97}$$ -*(Havia um erro de cálculo no texto original: $4^2 = 16$, não $18$. A correção foi aplicada acima.)* \ No newline at end of file +**Exercício:** Dado os vetores $\vec{u} = (-1, 3)$ e $\vec{v} = (-2,-1)$ determine $|2\vec{u} - 3\vec{v}|$ +> $2\vec{u} - 3\vec{v} = |2(-1,3) - 3(-2, -1)|$ +> $= |(-2,6) +(6, 3)|$ +> $= |(4,9)| = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{18 + 81}$ +> $= \sqrt{97}$ \ No newline at end of file