## 📌 Questão 1
Que distância seu carro percorre a $88km/h$ durante $1s$ em que você olha um acidente à margem da estrada.

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### 📄 Solução 1
 $v=88km/h$  
 $t=1s$  
 
 $\Delta S = v \cdot \Delta t \Rightarrow$  
 $S_f - S_0 = v \cdot (t_f - t_0)$  
 $S_f - S_0 = 88km/h \cdot 1s$  
 $S_f - S_0 = \dfrac{88}{3,6} m*s^{-1} \cdot 1s$  
 $S_f - S_0 = \dfrac{88}{3,6} m$  
 $\Delta S = \dfrac{88}{3,6} m = 24,4\cdots m$  
 
🧐 **Resposta:**  $24,4m$

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## 📌 Questão 7 😭
 Você dirige da cidade A para a cidade B: Metade do **tempo** a $56,3km/h$ e a outra metade a $88,5km/h$. Na volta você percorre metade da **distância** a $56,3km/h$ e a outra metade $88,5km/h$.
 - **Pergunta:** Qual sua velocidade escalar média?
	 1. Da cidade A a cidade B
	 2. de B até A, na volta e
	 3. na viagem completa de ida e volta
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### 📄 Solução 7.1:

$v_1 = 56,3km/h$  
$v_2 = 88,5km/h$  

$v_m = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$  
$v_m = \dfrac{56,3km/h + 88,5km/h}{2}$  
$v_m = \dfrac{144,8km/h}{2} = 72,4km/h$  

🧐 **Resposta:** $72,4km/h$

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### 📄 Solução 7.2
$v_1 = 56,3km/h = \dfrac{\Delta S}{t_1 \cdot 2}$  

$v_2 = 88,5km/h = \dfrac{\Delta S}{t_2 \cdot 2}$  

$v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}$  

$t_1 = \dfrac{\Delta S}{v_1 \cdot 2}$

$t_2 = \dfrac{\Delta S}{v_2 \cdot 2}$

$v_m = \dfrac{\Delta S}{\dfrac{\Delta S}{v_1 \cdot 2} + \dfrac{\Delta S}{v_2 \cdot 2}}$

$v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta S \cdot (\dfrac{1}{v_1 \cdot 2} + \dfrac{1}{v_2 \cdot 2})}$

$v_m = \dfrac{1}{(\dfrac{1}{v_1 \cdot 2} + \dfrac{1}{v_2 \cdot 2})}$


$v_m = \dfrac{1}{\dfrac{1}{56,3km/h \cdot 2} + \dfrac{1}{88,5km/h \cdot 2}}$

$v_m = \dfrac{1}{\dfrac{1}{112,6km/h} + \dfrac{1}{177km/h}}$

$v_m = \dfrac{1}{\dfrac{1}{112,6km/h} + \dfrac{1}{177km/h}}$

$\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{1}{112,6km/h} + \dfrac{1}{177km/h}}$

$\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{177km/h}{112,6km/h \cdot 177km/h} + \dfrac{112,6km/h}{112,6km/h \cdot 177km/h}}$

$\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{177km/h + 112,6km/h}{112,6km/h \cdot 177km/h}}$

$\dfrac{1}{v_m} = {\dfrac{289,6km * h^{-1}}{19930,2km^2 h^{-2}}}$

$v_m = \dfrac{19930,2km^2 h^{-2}}{289,6km * h^{-1}}$

$v_m = \dfrac{19930,2km/h}{289,6}$

$v_m = 68,819751381 km/h$

🧐 **Resposta:** $68,82km/h$

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### 📄 Solução 7.3

$v_{m_{ida}} = 72,4 km/h$  
$v_{m_{volta}} = 68,82 km/h$  


$v_m = \dfrac{v_{m_{ida}} * t_{ida} + v_{m_{volta}} * t_{volta}}{t_{ida} + t_{volta}}$  

$v_m = \dfrac{2d}{t_{ida} + t_{volta}}$  

$v_{ida} = \dfrac{d}{t_{ida}} \Rightarrow t_{ida} = \dfrac{d}{v_{ida}}$  

$v_{volta} = \dfrac{d}{t_{volta}} \Rightarrow t_{volta} = \dfrac{d}{v_{volta}}$

$v_m = \dfrac{2d}{\dfrac{d}{v_{ida}} + \dfrac{d}{v_{volta}}}$

$v_m = \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_{ida}} + \dfrac{1}{v_{volta}}}$

$v_m = \dfrac{2}{\dfrac{1}{72,4} + \dfrac{1}{68,82}}$

$\dfrac{1}{v_m} = \dfrac{\dfrac{1}{72,4} + \dfrac{1}{68,82}}{2}$

$\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{1}{72,4} + \dfrac{1}{68,82}$

$\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{68,82}{68,82 * 72,4} + \dfrac{72,4}{68,82 * 72,4}$

$\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{68,82}{4982,568} + \dfrac{72,4}{4982,568}$

$\dfrac{2}{v_m} = \dfrac{141,22}{4982,568}$

$\dfrac{v_m}{2} = \dfrac{4982,568}{141,22} = 35,282311287$

$v_m = 35,282311287 * 2 = 70,56 km/h$

🧐 **Resposta:** $70,56km/h$

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## 📌 Questão 9
A posição de um objeto que se move em linha reta é dada por $x = 3t - 4t^2 + t^3$, sendo $x$ em metros e $t$ em segundos
- **Perguntas:**
	1. Qual a posição do objeto nos instantes 0, 1, 2, 3, 4 s? 
	2. Qual o deslocamento do objeto entre $t = 0s$ e $t = 2s$? E entre $t = 0s$ e $t = 4s$?
	3. Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de $t = 0s$ e $t = 4s$? E entre $t = 0s$ e $t = 3s$? 
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### 📄 Resolução 9.1

$x(t) = 3t - 4t^2 + t^3$  

$x(0) = \LARGE 0$  
$x(1) = 3 - 4 + 1 = \LARGE 0$  
$x(2) = 3*2 - 4 * 2^2 + 2^3 = \LARGE -2$  
$x(3) = 9 - 4*9 + 3^3 = \LARGE 0$  
$x(4) = 3*4 - 4*4^2 + 4^3 = \LARGE 12$  

🧐 **Resposta:** Esses números ai em cima

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### 📄 Resolução 9.2

$\Delta S = S_f - S_0$  
$\Delta S (t_0, t_f) = x(t_f) - x(t_0)$  

$\Delta S (0, 2) = -2m - 0m = \Large -2m$  
$\Delta S (0, 4) = 12m - 0m = \Large 12m$  

🧐 **Resposta:** $-2m$ e $12m$ respectivamente

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### 📄 Resolução 9.2

$v = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}$  

$v(t_0, t_f) = \dfrac{\Delta S (t_0, t_f)}{t_f - t_0}$  

$\LARGE v(t_0, t_f) = \dfrac{x(t_f) - x(t_0)}{t_f - t_0}$  

$v(0, 4) = \dfrac{x(4) - x(0)}{4s - 0s} = \dfrac{12m}{4s} = 3m/s$  
$v(0, 3) = \dfrac{x(3) - x(0)}{3s - 0s} = \dfrac{0m}{3s} = 0m/s$  

🧐 **Resposta:** $3m/s$ e $0m/s$ respectivamente

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## 📌 Questão 11
Calcule sua velocidade escalar média nos dois casos seguintes.
1. Você caminha 72 m à razão de 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3.0 m/s numa reta.
2. Você caminha durante 1,0 min. a 1,2 m/s e depois corre durante 1,0 min. 3,0 m/s numa reta
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### 📄 Resolução 11.1

$\Delta S_1 = 72m$  
$\Delta S_2 = 72m$  

$v_1 = 1,2m/s$  
$v_2 = 3m/s$  

$\Delta t_1 = \dfrac{\Delta S_1}{v_1} = \dfrac{72m}{1,2m/s} = 60s$  
$\Delta t_2 = \dfrac{\Delta S_2}{v_2} = \dfrac{72m}{3m/s} = 24s$  

$v_{média} = \dfrac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2} = \dfrac{72m + 72m}{60s + 24s} = \dfrac{144m}{84s} = 1,71m/s$  

🧐 **Resposta:** $2,1m/s$

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### 📄 Resolução 11.2

$v_1 = 1,2m/s$  
$v_2 = 3m/s$  

$\Delta t_1 = 60s$  
$\Delta t_2 = 60s$  

$\Delta S_1 = v_1 \cdot \Delta t_1 = 1,2m/s \cdot 60s = 72m$  
$\Delta S_2 = v_2 \cdot \Delta t_2 = 180m$  

$v_{média} = \dfrac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{\Delta t_1 + \Delta t_2} = \dfrac{72m + 180}{60s + 60s} = \dfrac{252m}{120s} = 2,1m/s$  

🧐 **Resposta:** $2,1m/s$

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## 📌 Questão 13
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo X é dado por $x = 9,75 + 1,50t^3$, sendo $t$ em segundos e $x$ em centímetros. Considere o intervalo de tempo de $t = 2s$ a $t = 3s$ e calcule:
1. A velocidade média
2. A velocidade instantânea em $t =2s$
3. A velocidade instantânea em $t=3s$
4. A velocidade instantânea em $t=2,5s$
5. A velocidade instantânea quando a partícula estiver no ponto médio entre as posições para $t=2s$ e $t=3$
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### 📄 Resolução 13.1

$x(2) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 21,75cm$  
$x(3) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 50,25cm$  

$v_m = \dfrac{S_f - S_0}{\Delta t} = \dfrac{50,25cm - 21,75cm}{1s} = \dfrac{28,5cm}{1s} = 0,285m/s$  

🧐 **Resposta:** $0,285m/s$

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### 📄 Resolução 13.2

$$
\begin{gathered}
S = f(t) = 9,75 + 1,50 t^3 \\
f'(t) = 4,5 t ^2 \Rightarrow \\
f'(2) = 4,5 \cdot 2 ^2 = 4,5 \cdot 4 \Rightarrow \\
f'(2) = 18
\end{gathered}
$$
🧐 **Resposta:** $0,18\text{m/s}$

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### 📄 Resolução 13.3
$$
\begin{gathered}
S = f(t) = 9,75 + 1,50 t^3 \\
f'(t) = 4,5 t ^2 \Rightarrow \\
f'(3) = 4,5 \cdot 3 ^2 = 4,5 \cdot 9 \Rightarrow \\
f'(3) = 40,5
\end{gathered}
$$

🧐 **Resposta:** $0,405\text{m/s}$

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### 📄 Resolução 13.4
$$
\begin{gathered}
S = f(t) = 9,75 + 1,50 t^3 \\
f'(t) = 4.5 t ^2 \Rightarrow \\
f'(2.5) = 4.5 \cdot 2.5 ^2 = 4.5 \cdot 6,25 \Rightarrow \\
f'(2.5) = 28,125
\end{gathered}
$$

🧐 **Resposta:** $0,28125\text{m/s}$

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### 📄 Resolução 13.5
$$
x(2) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 21,75cm 
$$
$$
x(3) = 9,75 + 1,5 \cdot 8 = 50,25cm
$$
$$
\dfrac{x(2) + x(3)}{2} = \dfrac{21,75 + 50,25}{2} = 36 \\
$$
$$
\begin{align*}
36 &= 9,75 + 1,50 t^3 \Rightarrow \\
1,50t ^3 &= 36 - 9,75 \Rightarrow \\
1,50t ^3 &= 26,25 \Rightarrow \\
t^3 &= 17,5 \Rightarrow \\
t &= \sqrt[3]{17,5} \\
t &= \sqrt[3]{\dfrac{1750}{1000}} = \dfrac{\sqrt[3]{1750}}{\sqrt[3]{1000}} \\
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
f'(t) &= 4,5 t ^2 \Rightarrow\\
f'(\sqrt[3]{17,5}) &= 4,5 \cdot (\sqrt[3]{17,5}) ^2 \\
&= 4,5 \cdot \sqrt[3]{17,5^2} \\
\end{align*}
$$

🧐 **Resposta:** $4,5 \cdot \sqrt[3]{17,5^2} \cdot 100 \text{m/s}$

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