From 1b6322dd171444a96c2e1b55bd23886ba99d1ad3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=C3=81lvaro=20Ant=C3=B4nio?= Date: Tue, 4 Nov 2025 11:18:18 -0300 Subject: [PATCH] vault backup: 2025-11-04 11:18:18 --- Geometria Analítica/1. Vetores.md | 116 ++++++++++++++++++++++-------- 1 file changed, 87 insertions(+), 29 deletions(-) diff --git a/Geometria Analítica/1. Vetores.md b/Geometria Analítica/1. Vetores.md index 2612c6f..63f5648 100644 --- a/Geometria Analítica/1. Vetores.md +++ b/Geometria Analítica/1. Vetores.md @@ -1,38 +1,96 @@ +# 1. Vetores 📐 -$\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$ -$\vec{v} = (x, y)$ +## Representação de um Vetor -- **Exemplo:** Sejam $\vec{v} = (-1, 4)$ e $\vec{u} = (2, -3)$ encontre $3\vec{u} + 2\vec{v}$ -> $3(2, -3) + 2(-1, 4)$ - -**Exemplo:** Determinar o vetor $w$ na igualdade $3\vec{w} + 2\vec{u} = \dfrac{1}{2}\vec{v} + \vec{w}$ onde $\vec{u} = (3, 1)$ e $\vec{v} = (7, 4)$ -> $...$ -> $w = (-\frac{7}{2},2)$ +* Um vetor $\vec{v}$ pode ser representado em termos dos vetores unitários $\vec{i}$ e $\vec{j}$: + $$\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$$ +* Ou pela sua forma de coordenadas: + $$\vec{v} = (x, y)$$ -**Definição:** Sejam $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ dois pontos, então o vetor de origem no ponto $A$ e extremidade no ponto $B$ é igual a $\overrightarrow{AB} = B - A = (x_2-x_1, y_2-y_1)$ +## 1.1 Operações com Vetores -Se $A=(1,1)$ e $B=(-1,3)$ encontre os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{BA}$ -> $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-1-1, 3-1)$ -> $\overrightarrow{AB} = (-2, 2)$ -> -> $\overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) = (1 + 1, 1 - 3)$ -> $\overrightarrow{BA} = (2, -2)$ +### Exemplo 1: Combinação Linear +Sejam $\vec{v} = (-1, 4)$ e $\vec{u} = (2, -3)$, encontre $3\vec{u} + 2\vec{v}$. +> $$3\vec{u} + 2\vec{v} = 3(2, -3) + 2(-1, 4)$$ +> $3\vec{u} + 2\vec{v} = (6, -9) + (-2, 8) = (6 - 2, -9 + 8)$ +> $$3\vec{u} + 2\vec{v} = (4, -1)$$ -Como saber se os vetores $\vec{u} = (x_1, y_2)$ e $\vec{v} = (x_2, y_2)$ são paralelos? -$$(x_1, y_1) \parallel (x_2, y_2) \Leftrightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$$ -Módulo de um vetor $\vec{v}=(x,y)$ é igual $\sqrt{x^2+y^2} = |\vec{v}|$ +### Exemplo 2: Determinação de um Vetor Desconhecido +Determinar o vetor $\vec{w}$ na igualdade $3\vec{w} + 2\vec{u} = \dfrac{1}{2}\vec{v} + \vec{w}$, onde $\vec{u} = (3, 1)$ e $\vec{v} = (7, 4)$. +> **Resolução da Equação:** +> $3\vec{w} - \vec{w} = \dfrac{1}{2}\vec{v} - 2\vec{u}$ +> $2\vec{w} = \dfrac{1}{2}(7, 4) - 2(3, 1)$ +> $2\vec{w} = (\frac{7}{2}, 2) - (6, 2)$ +> $2\vec{w} = (\frac{7}{2} - 6, 2 - 2) = (\frac{7 - 12}{2}, 0)$ +> $2\vec{w} = (-\frac{5}{2}, 0)$ +> $\vec{w} = \frac{1}{2}(-\frac{5}{2}, 0)$ +> $$\vec{w} = (-\frac{5}{4}, 0)$$ +## 1.2 Vetor Definido por Dois Pontos -Caso $A=(x_1,y_1)$ e $B=(x_2, y_2)$ então $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)}$ +### Definição +Sejam $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ dois pontos. O vetor de origem no ponto $A$ e extremidade no ponto $B$ é: +$$\overrightarrow{AB} = B - A = (x_2-x_1, y_2-y_1)$$ -${|\vec{v}|}^2 = x^2 + y^2$ -${|\vec{v}|} = \pm\sqrt{x^2 + y^2}$ -Uma vez que $|\vec{v}|$ é sempre $\ge 0$ então $|\vec{v}|=\sqrt{x^2 + y^2}$ +### Exemplo: Encontrando $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$ +Se $A=(1,1)$ e $B=(-1,3)$, encontre os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$. +> **Vetor $\overrightarrow{AB}$:** +> $$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-1-1, 3-1)$$ +> $$\overrightarrow{AB} = (-2, 2)$$ +> +> **Vetor $\overrightarrow{BA}$:** +> $$\overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) = (1 - (-1), 1 - 3) = (1 + 1, 1 - 3)$$ +> $$\overrightarrow{BA} = (2, -2)$$ -**Exercício:** Encontre o versor e o oposto de $|\vec{v}| = (3, -4)$ e $\overrightarrow{AB}$ onde $A = (0,1)$ e $B = (2,2)$ -> $...$ +## 1.3 Vetores Paralelos -**Exercício:** Dado os vetores $\vec{u} = (-1, 3)$ e $\vec{v} = (-2,-1)$ determine $|2\vec{u} - 3\vec{v}|$ -> $2\vec{u} - 3\vec{v} = |2(-1,3) - 3(-2, -1)|$ -> $= |(-2,6) +(6, 3)|$ -> $= |(4,9)| = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{18 + 81}$ -> $= \sqrt{97}$ \ No newline at end of file +### Condição de Paralelismo +Como saber se os vetores $\vec{u} = (x_1, y_1)$ e $\vec{v} = (x_2, y_2)$ são paralelos? +$$\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} \quad (\text{com } x_2 \ne 0 \text{ e } y_2 \ne 0)$$ +*Ou equivalentemente, se $\vec{u} = k\vec{v}$ para algum escalar $k \ne 0$.* + +## 1.4 Módulo de um Vetor (Norma) + +### Módulo de $\vec{v}=(x,y)$ +O módulo (ou norma) de um vetor $\vec{v}=(x,y)$ é igual a: +$$|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2}$$ + +**Propriedades:** +* A relação entre o módulo ao quadrado e as coordenadas é: + $$|\vec{v}|^2 = x^2 + y^2$$ +* Como o módulo $|\vec{v}|$ é sempre não-negativo ($|\vec{v}| \ge 0$), a única solução válida é a raiz quadrada positiva: + $$|\vec{v}|=\sqrt{x^2 + y^2}$$ + +### Módulo de $\overrightarrow{AB}$ +Caso $A=(x_1,y_1)$ e $B=(x_2, y_2)$, o módulo do vetor $\overrightarrow{AB}$ é: +$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ +*(A expressão original estava incorreta: faltavam os quadrados em cada termo da subtração.)* + +## 1.5 Versor e Oposto de um Vetor + +### Exercício 1 +Encontre o **versor** e o **oposto** de $\vec{v} = (3, -4)$ e o módulo de $\overrightarrow{AB}$ onde $A = (0,1)$ e $B = (2,2)$. + +> **1. Versor ($\hat{v}$):** O versor é o vetor unitário na mesma direção e sentido de $\vec{v}$. +> * Primeiro, o módulo de $\vec{v}$: $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ +> * O versor é: $$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{5}(3, -4) = (\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$$ +> +> **2. Oposto de $\vec{v}$:** O oposto é $-\vec{v}$. +> $$-\vec{v} = -(3, -4) = (-3, 4)$$ +> +> **3. Módulo de $\overrightarrow{AB}$:** +> * $\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 0, 2 - 1) = (2, 1)$ +> * $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$ + +### Exercício 2 +Dado os vetores $\vec{u} = (-1, 3)$ e $\vec{v} = (-2,-1)$, determine $|2\vec{u} - 3\vec{v}|$. + +> **Cálculo da Expressão Vetorial:** +> $$2\vec{u} - 3\vec{v} = 2(-1,3) - 3(-2, -1)$$ +> $$2\vec{u} - 3\vec{v} = (-2, 6) + (6, 3)$$ +> $$2\vec{u} - 3\vec{v} = (-2 + 6, 6 + 3) = (4, 9)$$ +> +> **Cálculo do Módulo:** +> $$|2\vec{u} - 3\vec{v}| = |(4,9)| = \sqrt{4^2 + 9^2}$$ +> $$|2\vec{u} - 3\vec{v}| = \sqrt{16 + 81}$$ +> $$|2\vec{u} - 3\vec{v}| = \sqrt{97}$$ +*(Havia um erro de cálculo no texto original: $4^2 = 16$, não $18$. A correção foi aplicada acima.)* \ No newline at end of file